Решите неравенство $\frac{2 \cdot 5^{2}x ) - 3 \cdot 5^{x} \cdot 2 в

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Упростим: $\frac{2 \cdot 5^{2}x ) - 3 \cdot 5^{x} \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 4 в степени ( x + 1 )}{10^{x} - 2^{2}x )} \leqslant1 \Leftrightarrow \frac{2 \cdot ( 5^{x} )^{2} - 6 \cdot ( 5^{x} ) \cdot ( 2^{x} ) + 4 \cdot ( 2^{x} )^{2}}{5^{x} \cdot 2^{x} - ( 2^{x} )^{2}} \leqslant1$ $\frac{2 \cdot 5^{2}x ) - 3 \cdot 5^{x} \cdot 2 в степени ( x + 1 ) + 4 в степени ( x + 1 )}{10^{x} - 2^{2}x )} \leqslant1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 \cdot ( 5^{x} )^{2} - 6 \cdot ( 5^{x} ) \cdot ( 2^{x} ) + 4 \cdot ( 2^{x} )^{2}}{5^{x} \cdot 2^{x} - ( 2^{x} )^{2}} \leqslant1$ Пусть $a=5^{x} ,$ $b=2^{x} ,$ тогда: $\frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{ab - b^{2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{b ( a - b )} - \frac{ab - b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 7ab + 5b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2a - 5b ) ( a - b )}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow система выражений \frac{2a - 5b}{b} \leqslant 0, a \neq b конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2} , \frac{a}{b} \neq 1 конец системы .$ $\frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{ab - b^{2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{b ( a - b )} - \frac{ab - b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 7ab + 5b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2a - 5b ) ( a - b )}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow система выражений \frac{2a - 5b}{b} \leqslant 0, a \neq b конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2} , \frac{a}{b} \neq 1 конец системы .$ $\frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{ab - b^{2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 6ab + 4b^{2}}{b ( a - b )} - \frac{ab - b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2a^{2} - 7ab + 5b^{2}}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( 2a - 5b ) ( a - b )}{b ( a - b )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{2a - 5b}{b} \leqslant 0, a \neq b конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2} , \frac{a}{b} \neq 1 конец системы .$ Вернемся к исходной переменной; окончательно имеем: система выражений $\frac{5^{x}}{2^{x}}$ \leqslant $\frac{5}{2}$ , $\frac{5^{x}}{2^{x}}$ $\neq$ q 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений ( $\frac{5}{2}$ )^{x} \leqslant ( $\frac{5}{2}$ )^{1} , ( $\frac{5}{2}$ )^{x} $\neq$ ( $\frac{5}{2}$ )^{0} конец системы . \Leftrightarrow система выражений x \leqslant 1, x $\neq$ q 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений x < 0, 0 < x \leqslant