Решите неравенство: $\frac{14^{1}+ \lg x )}{7\lg^{2} ( 100x ) \lg (

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что $( 4 \cdot 2 в степени ( \lg ( 10x ) ) )^{1}+ \lg x ) = ( 4 \cdot 2^{1}+ \lg x ) )^{1}+ \lg x ) =4^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =$ $=2^{2}( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =$ $( 4 \cdot 2 в степени ( \lg ( 10x ) ) )^{1}+ \lg x ) = ( 4 \cdot 2^{1}+ \lg x ) )^{1}+ \lg x ) =$ $=4^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =2^{2}( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =$ $=2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} ) =$ $=2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( \lg^{2} x + 2 \lg x + 1 ) =2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x + \lg^{2} x + 2 \lg x + 1 ) =2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x + 2 )$ $=2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( \lg^{2} x + 2 \lg x + 1 ) =$ $=2^{1}+ \lg x ) \cdot 2^{1}+ \lg x + \lg^{2} x + 2 \lg x + 1 ) =2^{1}+ \lg x ) \cdot 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x + 2 )$ Преобразуем обе части неравенства: $\frac{2^{1}+ \lg x ) \cdot 7^{1}+ \lg x )}{7 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2^{2}( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} )}{4 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \Leftrightarrow \frac{2^{1}+ \lg x ) \cdot 7^{1}+ \lg x )}{7 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2 в степени ( ( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( \lg x^{2} + 3 \lg x + 2 )}{4 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )}$ $\frac{2^{1}+ \lg x ) \cdot 7^{1}+ \lg x )}{7 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2^{2}( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( ( 1 + \lg x )^{2} )}{4 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2^{1}+ \lg x ) \cdot 7^{1}+ \lg x )}{7 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2 в степени ( ( 1 + \lg x ) ) \cdot 2 в степени ( \lg x^{2} + 3 \lg x + 2 )}{4 ( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )}$ Разделив обе части на $2^{1}+ \lg x )$ и сократив левую часть на 7, а правую — на 4, получим: $\frac{7 в степени ( \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \Leftrightarrow \frac{7 в степени ( \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2 в степени ( \log по основанию 2 7 \cdot \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0$ $\frac{7 в степени ( \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{7 в степени ( \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{2 в степени ( \log по основанию 2 7 \cdot \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0$ $\frac{7 в степени ( \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant \frac{2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{7 в степени ( \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 в степени ( \log по основанию 2 7 \cdot \lg x ) - 2 в степени ( \lg^{2} x + 3 \lg x )}{( \lg x + 2 )^{2} ( \lg x - 1 )} \geqslant 0$ Сделаем замену: $y= \lg x,$ тогда получим $\frac{2 в степени ( y \log по основанию 2 7 ) - 2 в степени ( y^{2} + 3y )}{( y + 2 )^{2} ( y - 1 )} \geqslant 0,$ откуда методом рационализации получим $\frac{y \cdot \log по основанию 2 7 - ( y^{2} + 3y )}{( y + 2 )^{2} ( y - 1 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{y ( y - ( \log по основанию 2 7 - 3 ) )}{( y + 2 )^{2} ( y - 1 )} \leqslant 0$ Решим полученное рациональное неравенство: совокупность выражений y < - 2, - 2 < y \leqslant $\log$ по основанию 2 7 - 3, 0 \leqslant y <