Решите неравенство: $\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ Применим эту формулу к каждому слагаемому левой части, получим: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} \leqslant \frac{3}{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} \leqslant \frac{3}{4} ,x \neq - 1,x \neq - 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{3}{x ( x + 3 )} \leqslant \frac{3}{4} ,x \neq - 1,x \neq - 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{1}{x ( x + 3 )} - \frac{1}{4} \leqslant0,x \neq - 1,x \neq - 2 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{4 - 3x - x^{2}}{x ( x + 3 )} \leqslant0,x \neq - 1,x \neq - 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{( x - 1 ) ( x + 4 )}{x ( x + 3 )} \geqslant0,x \neq - 1,x \neq - 2 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений x\leqslant - 4, - 3 < x < - 2, - 2 < x < - 1, - 1 < x < 0,x\geqslant1. конец совокупности$ [рисунок] Ответ: $( - \infty ; - 4 ] \cup ( - 3; - 2 ) \cup ( - 2; - 1 ) \cup ( - 1;0 ) \cup [ 1; + \infty )$