Решите неравенство: $\frac{1}{( \log по основанию 5 x + 1 )^{2}}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Так как выражение $\log по основанию 5 x$ должно быть определено, необходимо выполнение неравенства $x > 0$ Для таких значений справедливы тождества $\log по основанию 5 x^{4} = 4 \log по основанию 5 |x| = 4 \log по основанию 5 x,$ $( \log по основанию ( \sqrt{5} ) x )^{2} = ( \log по основанию 5 x^{2} )^{2} = ( 2 \log по основанию 5 |x| )^{2} = 4 \log по основанию 5^{2} x,$ а потому неравенство можно записать в виде $\frac{1}{( \log по основанию 5 x + 1 )^{2}} \leqslant 4 \log по основанию 5^{2} x + 4 \log по основанию 5 x + 1$ Пусть $t = \log по основанию 5 x,$ получаем: $\frac{1}{( t + 1 )^{2}} \leqslant 4 t^{2} + 4t + 1 \Leftrightarrow ( 2 t + 1 )^{2} \geqslant \frac{1}{( t + 1 )^{2}} \Leftrightarrow \frac{( 2t + 1 )^{2} ( t + 1 )^{2} - 1}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2t^{2} + 3t + 1 - 1 ) ( 2t^{2} + 3t + 1 + 1 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{t ( 2t + 3 ) ( 2t^{2} + 3t + 2 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0$ $\frac{1}{( t + 1 )^{2}} \leqslant 4 t^{2} + 4t + 1 \Leftrightarrow ( 2 t + 1 )^{2} \geqslant \frac{1}{( t + 1 )^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2t + 1 )^{2} ( t + 1 )^{2} - 1}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( 2t^{2} + 3t + 1 - 1 ) ( 2t^{2} + 3t + 1 + 1 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{t ( 2t + 3 ) ( 2t^{2} + 3t + 2 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0$ $\frac{1}{( t + 1 )^{2}} \leqslant 4 t^{2} + 4t + 1 \Leftrightarrow ( 2 t + 1 )^{2} \geqslant \frac{1}{( t + 1 )^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2t + 1 )^{2} ( t + 1 )^{2} - 1}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( 2t^{2} + 3t + 1 - 1 ) ( 2t^{2} + 3t + 1 + 1 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{t ( 2t + 3 ) ( 2t^{2} + 3t + 2 )}{( t + 1 )^{2}} \geqslant 0$ Дискриминант уравнения $2t^{2} + 3t + 2 = 0$ отрицателен: $D = 9 - 16= - 7 < 0,$ следовательно, оно не имеет корней.