Решите неравенство $45^{x} \cdot 27 - 27 в степени ( x + 1 ) - 12 \cdot

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Cгруппируем и разложим на множители: $45^{x} \cdot 27 - 27 в степени ( x + 1 ) - 12 \cdot 15 в степени ( x ) + 12 \cdot 9^{x} + 5^{x} - 3^{x} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 27 \cdot 45^{x} - 27 \cdot 27^{x} ) - ( 12 \cdot 15^{x} - 12 \cdot 9^{x} ) + ( 5^{x} - 3^{x} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 5^{x} - 3^{x} ) ( 27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( 5^{x} - 3^{x} ) ( 3^{x} \cdot 9 - 1 ) ( 3 \cdot 3^{x} - 1 ) \leqslant 0$ $\Leftrightarrow ( 27 \cdot 45^{x} - 27 \cdot 27^{x} ) - ( 12 \cdot 15^{x} - 12 \cdot 9^{x} ) + ( 5^{x} - 3^{x} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 5^{x} - 3^{x} ) ( 27 \cdot 9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 1 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 5^{x} - 3^{x} ) ( 3^{x} \cdot 9 - 1 ) ( 3 \cdot 3^{x} - 1 ) \leqslant 0$ Здесь мы воспользовались тем, что $27t^{2} - 12t + 1 = ( 9t - 1 ) ( 3t - 1 )$ Тем самым левая часть полученного неравенства обращается в нуль в точках −2, −1 и