Решите неравенство $4 \log по основанию ( 4 )^{2} ( \sin^{3} x ) + 8

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что \log^{2}_a^{2} b^{3} = ( \log по основанию ( a^{2} ) b^{3} )^{2} = ( \frac{3}{2} \log по основанию a b )^{2} = \frac{9}{4} ( \log по основанию a b )^{2} , а потому при условии $\sin x > 0$ неравенство можно записать в виде $9\log^{2}_2 ( \sin x ) + 8 \log по основанию 2 ( \sin x ) \geqslant 1$ Пусть $\log по основанию 2 ( \sin x ) =t,$ тогда $9t^{2} + 8t - 1\geqslant0 \Leftrightarrow совокупность выражений t \leqslant - 1,t \geqslant \frac{1}{9} . конец совокупности$ Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $совокупность выражений \log по основанию 2 ( \sin x ) \leqslant - 1, \log по основанию 2 ( \sin x ) \geqslant \frac{1}{9} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 0 < \sin x \leqslant \frac{1}{2} , \sin x \geqslant 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . \underset \sin x \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset \sin x \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 0 < \sin x \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений 2 Пи k < x \leqslant \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant x < Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $совокупность выражений \log по основанию 2 ( \sin x ) \leqslant - 1, \log по основанию 2 ( \sin x ) \geqslant \frac{1}{9} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 0 < \sin x \leqslant \frac{1}{2} , \sin x \geqslant 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . \underset \sin x \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 0 < \sin x \leqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 2 Пи k < x \leqslant \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant x < Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ [рисунок] Ответ: $\bigcup_k \in Z ( 2 Пи k; \frac{Пи}{6} + 2 Пи k ] \cup [ \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k; Пи + 2 Пи k )$