Решите неравенство $4 \cdot 3 в степени ( \log^{2}_3 ) ( x - 2 ) - 9

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что $3 в степени ( \log^{2}_3 ) ( x - 2 ) =3 в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) \cdot \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) = ( 3 в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) ) в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) = ( x - 2 ) в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) ,$ и введём замену переменной $t = ( x - 2 ) в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) )$ Тогда $4t - 9 \geqslant 4t^{2} - 11t \Leftrightarrow 4t^{2} - 15t + 9\leqslant0 \Leftrightarrow ( t - 3 ) ( 4t - 3 ) \leqslant0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} \leqslant t\leqslant3$ $4t - 9 \geqslant 4t^{2} - 11t \Leftrightarrow 4t^{2} - 15t + 9\leqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 3 ) ( 4t - 3 ) \leqslant0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} \leqslant t\leqslant3$ Вернёмся к исходной переменной и прологарифмируем неравенство по основанию 3: $\frac{3}{4} \leqslant ( x - 2 ) в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) \leqslant3 \Leftrightarrow \log по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 \leqslant \log по основанию 3 ( x - 2 ) в степени ( \log по основанию ( 3 ) ( x - 2 ) ) \leqslant \log по основанию 3 3 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 - \log по основанию 3 4\leqslant\log^{2}_3 ( x - 2 ) \leqslant1 \Leftrightarrow \log^{2}_3 ( x - 2 ) \leqslant1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow - 1 \leqslant \log по основанию 3 ( x - 2 ) \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leqslant x - 2 \leqslant 3 \Leftrightarrow \frac{7}{3} \leqslant x \leqslant 5$ Ответ: $[ \frac{7}{3} ; 5 ]$