Решите неравенство $3 \cdot ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Заметим, что $2 в степени ( \log^{2}_2 ) ( x + 1 ) =2 в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) \cdot \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) = ( 2 в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) = ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) ,$ $( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 )^{2} ) = ( x + 1 )^{2}\log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) )^{2} ,$ и введём замену $t= ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) )$ Тогда $3t^{2} - 48t \geqslant 2t - 32 \Leftrightarrow 3t ( t - 16 ) \geqslant2 ( t - 16 ) \Leftrightarrow ( t - 16 ) ( 3t - 2 ) \geqslant0 \Leftrightarrow совокупность выражений t \leqslant \frac{2}{3} ,t\geqslant16. конец совокупности$ $3t^{2} - 48t \geqslant 2t - 32 \Leftrightarrow 3t ( t - 16 ) \geqslant2 ( t - 16 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 16 ) ( 3t - 2 ) \geqslant0 \Leftrightarrow совокупность выражений t \leqslant \frac{2}{3} ,t\geqslant16. конец совокупности$ Вернёмся к исходной переменной и прологарифмируем неравенства по основанию 2, при этом знак неравенства не меняется: $совокупность выражений ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \frac{2}{3} , ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant16 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant \log по основанию 2 16 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \log^{2}_2 ( x + 1 ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ( * ) ,\log^{2}_2 ( x + 1 ) \geqslant4. конец совокупности$ $совокупность выражений ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \frac{2}{3} , ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant16 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant \log по основанию 2 16 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log^{2}_2 ( x + 1 ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ( * ) ,\log^{2}_2 ( x + 1 ) \geqslant4. конец совокупности$ $совокупность выражений ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \frac{2}{3} , ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant16 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , \log по основанию 2 ( x + 1 ) в степени ( \log по основанию ( 2 ) ( x + 1 ) ) \geqslant \log по основанию 2 16 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \log^{2}_2 ( x + 1 ) \leqslant \log по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ( * ) ,\log^{2}_2 ( x + 1 ) \geqslant4. конец совокупности$ Правая часть неравенства (⁎) отрицательна, а левая — неотрицательна, поэтому неравенство (⁎) решений не имеет.