Решите неравенство: $20^{x} - 64 \cdot 5^{x} - 4^{x} + 64 \leqslant 0$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что $20^{x} - 64 \cdot 5^{x} - 4^{x} + 64=5^{x} \cdot 4^{x} - 64 \cdot 5^{x} - ( 4^{x} - 64 ) =5^{x} ( 4^{x} - 64 ) - ( 4^{x} - 64 ) = ( 5^{x} - 1 ) ( 4^{x} - 64 )$ $20^{x} - 64 \cdot 5^{x} - 4^{x} + 64=5^{x} \cdot 4^{x} - 64 \cdot 5^{x} - ( 4^{x} - 64 ) =$ $=5^{x} ( 4^{x} - 64 ) - ( 4^{x} - 64 ) = ( 5^{x} - 1 ) ( 4^{x} - 64 )$ Поэтому $20^{x} - 64 \cdot 5^{x} - 4^{x} + 64\leqslant0 \Leftrightarrow ( 5^{x} - 1 ) ( 4^{x} - 64 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( 5^{x} - 5^{0} ) ( 4^{x} - 4^{3} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $20^{x} - 64 \cdot 5^{x} - 4^{x} + 64\leqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 5^{x} - 1 ) ( 4^{x} - 64 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( 5^{x} - 5^{0} ) ( 4^{x} - 4^{3} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4x \cdot 3 ( x - 3 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant 3$ Ответ: [ 0;3 ]