Решите неравенство $2^{x} - 6 - \frac{9 \cdot 2^{x} - 37}{4^{x} - 7

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Пусть $t=2^{x} ,$ тогда имеем: $t - 6 - \frac{9t - 37}{t^{2} - 7t + 12} \leqslant \frac{1}{t - 4} \Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{1}{t - 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37 + t - 3}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow t - 6 - \frac{10t - 40}{( t - 4 ) ( t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow t - 6 - \frac{10 ( t - 4 )}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0$ $t - 6 - \frac{9t - 37}{t^{2} - 7t + 12} \leqslant \frac{1}{t - 4} \Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{1}{t - 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37 + t - 3}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{10t - 40}{( t - 4 ) ( t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow t - 6 - \frac{10 ( t - 4 )}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0$ $t - 6 - \frac{9t - 37}{t^{2} - 7t + 12} \leqslant \frac{1}{t - 4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{1}{t - 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37 + t - 3}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow t - 6 - \frac{10t - 40}{( t - 4 ) ( t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{10 ( t - 4 )}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0$ $t - 6 - \frac{9t - 37}{t^{2} - 7t + 12} \leqslant \frac{1}{t - 4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{1}{t - 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37 + t - 3}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{10t - 40}{( t - 4 ) ( t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow t - 6 - \frac{10 ( t - 4 )}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0$ $t - 6 - \frac{9t - 37}{t^{2} - 7t + 12} \leqslant \frac{1}{t - 4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{1}{t - 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{9t - 37 + t - 3}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{10t - 40}{( t - 4 ) ( t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t - 6 - \frac{10 ( t - 4 )}{( t - 4 ) ( t - 3 )} \leqslant 0$ При условии $t \neq 4$ сократим и получим: $t - 6 - \frac{10}{t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( t - 6 ) ( t - 3 ) - 10}{t - 3} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\frac{t^{2} - 9t + 8}{t - 3}$ \leqslant 0 \Leftrightarrow $\frac{( t - 1 ) ( t - 8 )}{t - 3}$ \leqslant 0 \Leftrightarrow совокупность выражений t \leqslant 1, 3 < t < 4, 4 < t \leqslant