Решите неравенство $2 \cdot ( \frac{7^{x} + 7 в степени ( - x )}{2}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Пусть $t= \frac{7^{x} + 7 в степени ( - x )}{2} ,$ тогда получаем $2t^{2} - 7t + 3\leqslant0 \Leftrightarrow ( 2t - 1 ) ( t - 3 ) \leqslant0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leqslant t\leqslant3$ Вернёмся к исходной переменной: $\frac{1}{2} \leqslant \frac{7^{x} + 7 в степени ( - x )}{2} \leqslant3 \Leftrightarrow 1 \leqslant 7^{x} + 7 в степени ( - x ) \leqslant 6 \Leftrightarrow 1 \leqslant 7^{x} + \frac{1}{7^{x}} \leqslant 6 \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow$ \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow 7^{x} + \frac{1}{7^{x}} \leqslant 6 \underset7^{x} > 0\mathop \Leftrightarrow ( 7^{x} )^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 1\leqslant0 \Leftrightarrow $\frac{1}{2} \leqslant \frac{7^{x} + 7 в степени ( - x )}{2} \leqslant3 \Leftrightarrow 1 \leqslant 7^{x} + 7 в степени ( - x ) \leqslant 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 \leqslant 7^{x} + \frac{1}{7^{x}} \leqslant 6 \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow$ \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow 7^{x} + \frac{1}{7^{x}} \leqslant 6 \underset7^{x} > 0\mathop \Leftrightarrow ( 7^{x} )^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 1\leqslant0 \Leftrightarrow $\Leftrightarrow 3 - 2 корень из 2 \leqslant7^{x} \leqslant 3 + 2 корень из 2 \Leftrightarrow \log по основанию 7 ( 3 - 2 корень из 2 ) \leqslant x \leqslant \log по основанию 7 ( 3 + 2 корень из 2 )$ В (⁎) мы воспользовались тем, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше двух.