Решите неравенство $2 \cdot \frac{125^{x} - 1}{5^{x} - 1} +

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Запишем исходное неравенство в виде: $2 \cdot \frac{125^{x} - 1}{5^{x} - 1} + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11 \Leftrightarrow \frac{2 ( 5^{x} - 1 ) ( 25^{x} + 5^{x} + 1 )}{5^{x} - 1} + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11 \underset x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 ( 25^{x} + 5^{x} + 1 ) + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11$ $2 \cdot \frac{125^{x} - 1}{5^{x} - 1} + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 ( 5^{x} - 1 ) ( 25^{x} + 5^{x} + 1 )}{5^{x} - 1} + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11 \underset x \neq 0 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow 2 ( 25^{x} + 5^{x} + 1 ) + \frac{12}{25^{x} + 5^{x} + 1} \leqslant 11$ Введем замену $t=25^{x} + 5^{x} + 1,$ $t > 0$ Имеем: 2t + $\frac{12}{t}$ \leqslant 11 \Leftrightarrow 2t^{2} - 11t + 12 \leqslant 0 \Leftrightarrow ( 2t - 3 ) ( t - 4 ) \leqslant система выражений t \geqslant $\frac{3}{2}$ , t \leqslant