Решите неравенство $11 \lg ( x^{2} + 11x + 30 ) \leqslant 12 + \lg

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Найдем значения x, при которых определены обе части неравенства: $система выражений x^{2} + 11x + 30 > 0, \frac{( x + 6 )^{11}}{x + 5} > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений ( x + 6 ) ( x + 5 ) > 0, \frac{( x + 6 )^{11}}{x + 5} > 0, конец системы . \Leftrightarrow x \in ( - \infty , - 6 ) \cup ( - 5, + \infty )$ $система выражений x^{2} + 11x + 30 > 0, \frac{( x + 6 )^{11}}{x + 5} > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений ( x + 6 ) ( x + 5 ) > 0, \frac{( x + 6 )^{11}}{x + 5} > 0, конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x \in ( - \infty , - 6 ) \cup ( - 5, + \infty )$ Для таких x верно следующее преобразование: 11 \lg ( x^{2} + 11x + 30 ) + \lg \frac{x + 5}{( x + 6 )^{11}} = \lg \frac{( x + 5 )^{11} ( x + 6 )^{11} ( x + 5 )}{( x + 6 )^{11}} = \lg { ( x + 5 )^{12} $11 \lg ( x^{2} + 11x + 30 ) + \lg \frac{x + 5}{( x + 6 )^{11}} =$ = \lg \frac{( x + 5 )^{11} ( x + 6 )^{11} ( x + 5 )}{( x + 6 )^{11}} = \lg { ( x + 5 )^{12} Тогда исходное неравенство примет вид $\lg ( x + 5 )^{12} \leqslant 12$ Так как $( x + 5 )^{12} \geqslant 0,$ то при условии $x \neq - 5$ имеем: $\lg ( x + 5 )^{12} \leqslant 12 \Leftrightarrow ( x + 5 )^{12} \leqslant 10^{12} \Leftrightarrow ( x + 5 )^{2} \leqslant 10^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 5 ) ( x + 15 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in [ - 15, - 5 ) \cup ( - 5,5 ]$ $\lg ( x + 5 )^{12} \leqslant 12 \Leftrightarrow ( x + 5 )^{12} \leqslant 10^{12} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x + 5 )^{2} \leqslant 10^{2} \Leftrightarrow ( x - 5 ) ( x + 15 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x \in [ - 15, - 5 ) \cup ( - 5,5 ]$ Учитывая, что $x \in ( - \infty , - 6 ) \cup ( - 5, + \infty ) ,$ получаем ответ.