Решить неравенство с модулями |x − 2| + |x + 1| ≤ 5

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Находим точки, где модули раскрываются по-разному

   Модуль раскрывается по правилу: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

   Подмодульные выражения обращаются в ноль при $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$, и при $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.

   Эти точки разбивают числовую прямую на три части: $x < -1$, $-1 \le x \le 2$ и $x > 2$. Внутри каждой части знаки подмодульных выражений постоянны, поэтому модули снимаются однозначно и неравенство становится линейным.

2. 2

   Шаг 2. Смотрим на задачу геометрически

   $|x-2|$ — это расстояние от точки $x$ до точки 2 на числовой прямой, а $|x+1| = |x-(-1)|$ — расстояние от $x$ до точки $-1$.

   Значит, требуется найти все точки, сумма расстояний от которых до $-1$ и до 2 не превосходит 5.

   Сами точки $-1$ и 2 удалены друг от друга на 3. Для любой точки между ними сумма расстояний равна ровно 3, а при выходе за пределы отрезка каждая единица пути добавляет к сумме сразу 2. Отсюда видно, что ответом будет отрезок, симметрично выступающий за $[-1; 2]$ в обе стороны, — точные границы найдём вычислением.