Неравенство (x − 1)²(x + 3)/(x − 4) ≥ 0 методом интервалов с кратным корнем

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Отмечаем нули и ограничения

   Дробь определена при $x - 4 \ne 0$, то есть $x \ne 4$.

   Знак дроби может меняться только в нулях числителя и знаменателя:

   • $(x-1)^2 = 0$ при $x = 1$ — корень кратности 2;
   • $x + 3 = 0$ при $x = -3$ — корень кратности 1;
   • $x - 4 = 0$ при $x = 4$ — кратность 1, точка выколота.

   Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $-3$ и 1 закрашиваем: в них дробь равна нулю, а условие «$\ge 0$» это допускает. Ноль знаменателя выкалываем всегда, независимо от строгости знака.

2. 2

   Шаг 2. Вспоминаем правило кратности

   При переходе через корень нечётной кратности знак выражения меняется, а через корень чётной кратности — сохраняется.

   Здесь множитель $(x-1)^2$ входит в квадрате, поэтому он неотрицателен при всех $x$: и слева, и справа от единицы он одинаково положителен. Значит, в точке 1 знак дроби не переворачивается — «змейка» касается оси и отскакивает обратно.

   Чтобы не ошибиться с первым знаком, посмотрим на очень большое $x$: там и числитель, и знаменатель положительны, поэтому в самом правом промежутке стоит плюс.