9–11 класс·высокий уровень

Неравенство (x − 1)²(x + 3)/(x − 4) ≥ 0 методом интервалов с кратным корнем

Условие

Решите неравенство $\frac{(x-1)^2(x+3)}{x-4} \ge 0$ методом интервалов. В ответе перечислите все значения $x$ , при которых неравенство верно.

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

1
Шаг 1. Отмечаем нули и ограничения
Дробь определена при $x - 4 \ne 0$ , то есть $x \ne 4$ .

Знак дроби может меняться только в нулях числителя и знаменателя:
- $(x-1)^2 = 0$ при $x = 1$ — корень кратности 2;
- $x + 3 = 0$ при $x = -3$ — корень кратности 1;
- $x - 4 = 0$ при $x = 4$ — кратность 1, точка выколота.
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя $-3$ и 1 закрашиваем: в них дробь равна нулю, а условие « $\ge 0$ » это допускает. Ноль знаменателя выкалываем всегда, независимо от строгости знака.
Шаг 2. Вспоминаем правило кратности
При переходе через корень нечётной кратности знак выражения меняется, а через корень чётной кратности — сохраняется.

Здесь множитель $(x-1)^2$ входит в квадрате, поэтому он неотрицателен при всех $x$ : и слева, и справа от единицы он одинаково положителен. Значит, в точке 1 знак дроби не переворачивается — «змейка» касается оси и отскакивает обратно.

Чтобы не ошибиться с первым знаком, посмотрим на очень большое $x$ : там и числитель, и знаменатель положительны, поэтому в самом правом промежутке стоит плюс.

Осталось ещё 3 шага

Шаг 3. Расставляем знаки по промежуткам
Шаг 4. Собираем ответ, не потеряв отдельную точку
Шаг 5. Проверяем подстановкой

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Теряют изолированную точку $x = 1$ : дробь там равна нулю, а неравенство нестрогое, поэтому единица входит в ответ.
Чередуют знаки во всех точках подряд, забыв про чётную кратность корня 1, и получают неверный ответ $[-3; 1] \cup (4; +\infty)$ .
«Сокращают» множитель $(x-1)^2$ , считая его положительным, и вместе с ним выбрасывают решение $x = 1$ .
Включают точку 4 в ответ, хотя в ней знаменатель обращается в ноль и дробь не определена.

Другие задачи по теме «Неравенства»

Решить квадратное неравенство x² ≤ 7x − 129–11 классРешить неравенство (x − 3)/(x + 2) ≤ 0 методом интервалов9–11 классСистема неравенств 3x − 5 < 7 и 2x + 1 > −5: сколько целых решений9–11 классРешить показательное неравенство 2^(x² − 3x) < 169–11 классКакой тариф выгоднее: 350 рублей и 2 рубля за минуту или 150 рублей и 6 рублей за минуту9–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же