Решить логарифмическое неравенство log₃(x² − 4x + 3) ≤ 1

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Записываем область допустимых значений

   Логарифм существует только от положительного числа, поэтому обязательно должно выполняться

   $x^2 - 4x + 3 > 0$

   Разложим трёхчлен на множители: его корни 1 и 3 (сумма 4, произведение 3), значит $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

   Ветви параболы направлены вверх, поэтому положительные значения трёхчлен принимает вне корней:

   $x < 1$ или $x > 3$.

   Всё, что получится дальше, придётся пересечь с этим условием.

2. 2

   Шаг 2. Избавляемся от логарифма

   Правую часть представим логарифмом по тому же основанию: $1 = \log_3 3$. Неравенство принимает вид

   $\log_3(x^2 - 4x + 3) \le \log_3 3$

   Основание $3 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:

   $x^2 - 4x + 3 \le 3$

   Если бы основание было меньше единицы, знак пришлось бы поменять на противоположный. Заметьте: это неравенство — только половина дела, второй половиной остаётся условие из шага 1.