Решите неравенство: $5 в степени ( \log по основанию ( x + 1 ) ( 3

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Область определения неравенства задается условиями: $x^{2} + 3x + 2 > 0,$ $3x^{2} + 8x + 4 > 0,$ $x + 1 > 0,$ $x + 1 \neq 1$ Заметим, что если $x + 1 > 0,$ то $x^{2} + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) > 0,$ $3x^{2} + 8 x + 4 > 0 \Leftrightarrow ( x + 2 ) ( 3x + 2 ) > 0 \underset x > - 1 \mathop \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$ Таким образом, $минус \frac{2}{3} < x \neq 0$ Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство $a в степени ( \log по основанию b c ) = c в степени ( \log по основанию b a ) ,$ получим: $( x^{2} + 3 x + 2 ) в степени ( \log по основанию ( x + 1 ) 25 ) = 25 в степени ( \log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) ) = 5^{2}\log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) )$ Исходное неравенство равносильно следующим: $5 в степени ( \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) ) \geqslant 5^{2}\log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) ) \Leftrightarrow \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) \geqslant 2 \log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) \geqslant \log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 )^{2}$ $5 в степени ( \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) ) \geqslant 5^{2}\log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) \geqslant 2 \log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( x + 1 ) ( 3 x^{2} + 8 x + 4 ) \geqslant \log по основанию ( x + 1 ) ( x^{2} + 3 x + 2 )^{2}$ Решим полученное неравенство методом рационализации.