\log по основанию 2^{2} x ) + x в степени ( \log по основанию 2 x )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Область определения неравенства задается условием $x > 0$ На множестве $( 0; + \infty )$ имеем $x=2 в степени ( \log по основанию 2 x ) ,$ и тогда для второго слагаемого получаем $x в степени ( \log по основанию 2 x ) = ( 2 в степени ( \log по основанию 2 x ) ) в степени ( \log по основанию 2 x ) =2 в степени ( \log по основанию 2 x \cdot \log по основанию 2 x ) =2 в степени ( \log^{2}_2x )$ Далее имеем: $2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) + x в степени ( \log по основанию 2 x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) + 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow 2 \cdot 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 128 \Leftrightarrow$ $2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) + x в степени ( \log по основанию 2 x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) + 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cdot 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 256 \Leftrightarrow 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 128 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 в степени ( \log по основанию 2^{2} x ) \leqslant 2^{7} \Leftrightarrow \log по основанию 2^{2} x \leqslant 7 \Leftrightarrow - \sqrt{7} \leqslant \log по основанию 2 x \leqslant \sqrt{7} \Leftrightarrow 2 в степени ( - \sqrt{7} ) \leqslant x \leqslant 2 в степени ( \sqrt{7} )$ Ответ: $[ 2 в степени ( - \sqrt{7} ) ;2 в степени ( \sqrt{7} ) ]$ Примечание.Можно было преобразовать первое слагаемое к виду $x в степени ( \log по основанию 2 x ) ,$ свести задачу к неравенству $x в степени ( \log по основанию 2 x ) \leqslant 128,$ которое логарифмированием обеих частей по основанию 2 привести к неравенству $\log по основанию 2^{2} x \leqslant 7$