Решите неравенство: $\log по основанию 3 \frac{1}{x} + \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заменим $\log по основанию 3 \frac{1}{x}$ на $минус \log по основанию 3 x,$ перенесем полученное выражение в правую часть и применим на области определения формулу суммы логарифмов. Получим: $\log по основанию 3 ( x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 ) + \log по основанию 3 x = \log по основанию 3 ( x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x )$ Тогда исходное уравнение равносильно системам: $система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, \log по основанию 3 ( x^{2} + 3x - 9 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 9 \leqslant x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x конец системы . \Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 10 \leqslant x^{3} + 3x^{2} - 10x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x < \frac{минус 3 - 3 корень из 5}{2} или x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , x^{2} + 3x - 10 \leqslant x ( x^{2} + 3x - 10 ) конец системы . \Leftrightarrow система выражений x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , ( x - 1 ) ( x^{2} + 3x - 10 ) \geqslant0 конец системы . \Leftrightarrow x \geqslant 2$ $система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, \log по основанию 3 ( x^{2} + 3x - 9 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 9 \leqslant x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x конец системы . \Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 10 \leqslant x^{3} + 3x^{2} - 10x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x < \frac{минус 3 - 3 корень из 5}{2} или x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , x^{2} + 3x - 10 \leqslant x ( x^{2} + 3x - 10 ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , ( x - 1 ) ( x^{2} + 3x - 10 ) \geqslant0 конец системы . \Leftrightarrow x \geqslant 2$ $система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, \log по основанию 3 ( x^{2} + 3x - 9 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x + \frac{1}{x} - 10 > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 9 \leqslant x^{3} + 3x^{2} + 1 - 10x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x^{2} + 3x - 9 > 0, x^{2} + 3x - 10 \leqslant x^{3} + 3x^{2} - 10x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 0, x < \frac{минус 3 - 3 корень из 5}{2} или x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , x^{2} + 3x - 10 \leqslant x ( x^{2} + 3x - 10 ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > \frac{минус 3 + 3 корень из 5}{2} , ( x - 1 ) ( x^{2} + 3x - 10 ) \geqslant0 конец системы . \Leftrightarrow x \geqslant 2$ [рисунок] [рисунок]