Решите неравенство $\frac{\log по основанию 5 8}{\log по основанию 5

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Неравенство определено, если $x > 0,$ $x \neq q 8$ и $x \neq q 16$ Используя свойства логарифма $\log по основанию a b = \frac{\log по основанию c b}{\log по основанию c a} ,$ $\log по основанию a b = \frac{1}{\log по основанию b a} ,$ $\log по основанию a \frac{b}{c} = \log по основанию a b - \log по основанию a c,$ на ОДЗ получим: $\frac{\log по основанию 5 8}{\log по основанию 5 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{\log по основанию 3 4}{\log по основанию 3 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow \log по основанию ( \tfracx ) 168 \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \log по основанию ( \tfracx ) 84 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 x - \log по основанию 8 16} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 x - \log по основанию 4 8} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{3} \log по основанию 2 x - \frac{4}{3}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \log по основанию 2 x - \frac{3}{2}}$ $\frac{\log по основанию 5 8}{\log по основанию 5 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{\log по основанию 3 4}{\log по основанию 3 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow \log по основанию ( \tfracx ) 168 \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \log по основанию ( \tfracx ) 84 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 x - \log по основанию 8 16} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 x - \log по основанию 4 8} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{3} \log по основанию 2 x - \frac{4}{3}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \log по основанию 2 x - \frac{3}{2}}$ $\frac{\log по основанию 5 8}{\log по основанию 5 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{\log по основанию 3 4}{\log по основанию 3 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( \tfracx ) 168 \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \log по основанию ( \tfracx ) 84 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 \frac{x}{16}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 \frac{x}{8}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 8 x - \log по основанию 8 16} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\log по основанию 4 x - \log по основанию 4 8} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{3} \log по основанию 2 x - \frac{4}{3}} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - \log по основанию 2 x} ) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \log по основанию 2 x - \frac{3}{2}}$ Пусть $t = \log по основанию 2 x,$ тогда $\frac{3}{t - 4} \leqslant ( 1 - \frac{1}{4 - t} ) \cdot \frac{2}{t - 3} \Leftrightarrow \frac{2}{t - 3} + \frac{2}{( t - 4 ) ( t - 3 )} - \frac{3}{t - 4} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\frac{2t - 8 + 2 - 3t + 9}{( t - 3 ) ( t - 4 )}$ \geqslant 0 \Leftrightarrow $\frac{3 - t}{( t - 3 ) ( t - 4 )}$ \geqslant 0 \Leftrightarrow система выражений $\frac{1}{t - 4}$ \leqslant 0, t $\neq$ 3 конец системы . \Leftrightarrow система выражений t < 4, t $\neq$