Решите неравенство $\frac{\log по основанию 4 ( 64x ) - 2}{\log^{2}_4x

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма: $\frac{\log по основанию 4 ( 64x ) - 2}{\log^{2}_4x + \log по основанию 4 x^{3}} \geqslant - 1 \Leftrightarrow \frac{\log по основанию 4 64 + \log по основанию 4 x - 2}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} \geqslant - 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 4 x + 1}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} + 1 \geqslant0 \Leftrightarrow \frac{\log^{2}_4x + 4 \log по основанию 4 x + 1}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} \geqslant0$ $\frac{\log по основанию 4 ( 64x ) - 2}{\log^{2}_4x + \log по основанию 4 x^{3}} \geqslant - 1 \Leftrightarrow \frac{\log по основанию 4 64 + \log по основанию 4 x - 2}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} \geqslant - 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 4 x + 1}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} + 1 \geqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log^{2}_4x + 4 \log по основанию 4 x + 1}{\log^{2}_4x + 3 \log по основанию 4 x} \geqslant0$ Пусть $\log по основанию 4 x = t,$ тогда: $\frac{t^{2} + 4t + 1}{t ( t + 3 )}$ \geqslant0 \Leftrightarrow $\frac{( t - ( - 2 - корень из 3 ) ) ( t - ( - 2 + корень из 3 ) )}{t ( t + 3 )}$ \geqslant0 \Leftrightarrow совокупность выражений t\leqslant - 2 - корень из 3 , - 3 < t\leqslant - 2 + корень из 3 ,t >