Решите неравенство: $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{(

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма: $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{( x + 5 )} \geqslant 8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( 4 - x )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant 8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant 0$ $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{( x + 5 )} \geqslant 8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( 4 - x )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant 8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant 0$ $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{( x + 5 )} \geqslant 8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( 4 - x )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant 8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant 0$ Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 < 4 - x < 1$ $система выражений \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant 0, 0 < 4 - x < 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x + 5 \geqslant 1, 3 < x < 4 конец системы . \Leftrightarrow 3 < x < 4$ Второй случай: $4 - x > 1$ $система выражений \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant 0, 4 - x > 1 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 0 < x + 5 \leqslant 1, x < 3 конец системы . \Leftrightarrow - 5 < x \leqslant - 4$ Решение неравенства: $минус 5 < x \leqslant - 4$ или $3 < x < 4$ Приведём другое решение.

   Заметим, что $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{x + 5} \geqslant8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x - 4 )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$ $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{x + 5} \geqslant8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x - 4 )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 \Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$ $\log по основанию ( 4 - x ) \frac{( x - 4 )^{8}}{x + 5} \geqslant8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x - 4 )^{8} - \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$ Воспользуемся методом рационализации: $\log$ по основанию ( 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0 \Leftrightarrow \begincases ( 4 - x - 1 ) ( x + 5 - 1 ) \leqslant0, 4 - x > 0, 4 - x $\neq$ q1, x + 5 >