Решите неравенство $\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 ) + \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Данное неравенство равносильно неравенству $( \log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 )} ) - 2 ( \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 3x - 1 )} ) + 2 \leqslant 0$ $( \log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 )} ) минус$ $минус 2 ( \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 3x - 1 )} ) + 2 \leqslant 0$ Пусть $\log по основанию 2 ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 3x - 1 )} =t,$ тогда $\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 )} + 2=t^{2}$ и, следовательно, $\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2^{2} ( 3x - 1 )} =t^{2} - 2$ Тогда исходное неравенство равносильно: $t^{2} - 2t \leqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant t \leqslant 2,$ откуда $0 \leqslant \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 3x - 1 )} \leqslant 2 \Leftrightarrow \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) =1 \Leftrightarrow 3x - 1=2 \Leftrightarrow x=1$ $0 \leqslant \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 3x - 1 )} \leqslant 2 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 2 ( 3x - 1 ) =1 \Leftrightarrow 3x - 1=2 \Leftrightarrow x=1$