Решите неравенство: $\frac{( x^{2} + x + 1 )^{2} - 2

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Числитель дроби имеет вид $a^{2} - 2 ab - 3b^{2}$ и раскладывается на множители $( a - 3b ) ( a + b )$ Действительно, $( x^{2} + x + 1 )^{2} - 2	x^{3} + x^{2} + x	- 3 x^{2} = ( x^{2} + x + 1 )^{2} - 2	x	\cdot	x^{2} + x + 1	- 3	x	^{2} =$
   $= (	x^{2} + x + 1	- 3	x	) (	x^{2} + x + 1	+	x	)$$( x^{2} + x + 1 )^{2} - 2	x^{3} + x^{2} + x	- 3 x^{2} =$
   $= ( x^{2} + x + 1 )^{2} - 2	x	\cdot	x^{2} + x + 1	- 3	x	^{2} =$
   $= (	x^{2} + x + 1	- 3	x	) (	x^{2} + x + 1	+	x	)$Множитель$(	x^{2} + x + 1	+	x	)$положителен при любых значениях переменной x, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству$\frac{	x^{2} + x + 1	- 3	x	}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0$Разность модулей двух выражений имеет тот же знак, что разность квадратов этих выражений, а потому$\frac{	x^{2} + x + 1	- 3	x	}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 )^{2} - ( 3x )^{2}}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 - 3x ) ( x^{2} + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x^{2} + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x + 2 + корень из 3 ) ( x + 2 - корень из 3 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0$ $\frac{	x^{2} + x + 1	- 3	x	}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 )^{2} - ( 3x )^{2}}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 - 3x ) ( x^{2} + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x^{2} + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x + 2 + корень из 3 ) ( x + 2 - корень из 3 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0$ $\frac{|x^{2} + x + 1| - 3|x|}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 )^{2} - ( 3x )^{2}}{10 x^{2} - 17 x - 6} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( x^{2} + x + 1 - 3x ) ( x^{2} + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x^{2} + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( x - 1 )^{2} ( x + 2 + корень из 3 ) ( x + 2 - корень из 3 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} \geqslant 0$ Cравним корень числителя $минус 2 + корень из 3$ и корень знаменателя минус 0,3, и решим неравенство методом интервалов: $3 > 2,89 \Rightarrow корень из 3 > \sqrt{2,89} \Rightarrow корень из 3 > 1,7 \Rightarrow - 2 + корень из 3 > - 2 + 1,7 \Rightarrow - 2 + корень из 3 > - 0,3$ $3 > 2,89 \Rightarrow корень из 3 > \sqrt{2,89} \Rightarrow корень из 3 > 1,7 \Rightarrow$ $\Rightarrow - 2 + корень из 3 > - 2 + 1,7 \Rightarrow - 2 + корень из 3 > - 0,3$ [рисунок] Таким образом, решением неравенства является совокупность совокупность выражений x \leqslant - 2 - корень из 3 , - 0,3 < x \leqslant - 2 + корень из 3 ,x=1,x >