Решите неравенство $\log по основанию ( 2 - 5x ) 3 + \frac{1}{\log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Приведем логарифмы в левой части неравенства к основанию 2 - 5x, сложим их, затем перейдем к основанию 6 и вычтем из полученной левой части правую часть неравенства; затем применим метод рационализации: $\log по основанию ( 2 - 5x ) 3 + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 2 - 5x )} \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow \log по основанию ( 2 - 5x ) 3 + \log по основанию ( 2 - 5x ) 2 \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow$ $\log по основанию ( 2 - 5x ) 3 + \frac{1}{\log по основанию 2 ( 2 - 5x )} \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 2 - 5x ) 3 + \log по основанию ( 2 - 5x ) 2 \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 2 - 5x ) 6 \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 6 ( 2 - 5x )} - \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \leqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию ( 2 - 5x ) 6 \leqslant \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\log по основанию 6 ( 2 - 5x )} - \frac{1}{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \leqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 ) - \log по основанию 6 ( 2 - 5x )}{\log по основанию 6 ( 2 - 5x ) \log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \leqslant0 \Leftrightarrow система выражений \frac{6x^{2} - 6x + 1 - 2 + 5x}{( 2 - 5x - 1 ) ( 6x^{2} - 6x + 1 - 1 )} \leqslant0,6x^{2} - 6x + 1 > 0,2 - 5x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 ) - \log по основанию 6 ( 2 - 5x )}{\log по основанию 6 ( 2 - 5x ) \log по основанию 6 ( 6x^{2} - 6x + 1 )} \leqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{6x^{2} - 6x + 1 - 2 + 5x}{( 2 - 5x - 1 ) ( 6x^{2} - 6x + 1 - 1 )} \leqslant0,6x^{2} - 6x + 1 > 0,2 - 5x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{6x^{2} - x - 1}{( 1 - 5x ) ( x^{2} - x )} \leqslant0,6x^{2} - 6x + 1 > 0,2 - 5x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{( 2x - 1 ) ( 3x + 1 )}{( 1 - 5x ) x ( x - 1 )} \leqslant0,6 ( x - \frac{3 + корень из 3}{6} ) ( x - \frac{3 - корень из 3}{6} ) > 0,x < \frac{2}{5} конец системы .\undersetx < \frac{2}{5} \mathop \Leftrightarrow система выражений \frac{( 3x + 1 )}{x ( 1 - 5x )} \leqslant0,x - \frac{3 - корень из 3}{6} < 0,x < \frac{2}{5} . конец системы$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{6x^{2} - x - 1}{( 1 - 5x ) ( x^{2} - x )} \leqslant0,6x^{2} - 6x + 1 > 0,2 - 5x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{( 2x - 1 ) ( 3x + 1 )}{( 1 - 5x ) x ( x - 1 )} \leqslant0,6 ( x - \frac{3 + корень из 3}{6} ) ( x - \frac{3 - корень из 3}{6} ) > 0,x < \frac{2}{5} конец системы .\undersetx < \frac{2}{5} \mathop \Leftrightarrow система выражений \frac{( 3x + 1 )}{x ( 1 - 5x )} \leqslant0,x - \frac{3 - корень из 3}{6} < 0,x < \frac{2}{5} . конец системы$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{6x^{2} - x - 1}{( 1 - 5x ) ( x^{2} - x )} \leqslant0,6x^{2} - 6x + 1 > 0,2 - 5x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{( 2x - 1 ) ( 3x + 1 )}{( 1 - 5x ) x ( x - 1 )} \leqslant0,6 ( x - \frac{3 + корень из 3}{6} ) ( x - \frac{3 - корень из 3}{6} ) > 0,x < \frac{2}{5} конец системы .\undersetx < \frac{2}{5} \mathop \Leftrightarrow$ $\undersetx < \frac{2}{5} \mathop \Leftrightarrow система выражений \frac{( 3x + 1 )}{x ( 1 - 5x )} \leqslant0,x - \frac{3 - корень из 3}{6} < 0,x < \frac{2}{5} . конец системы$ Заметим, что $0,36 < 3 < 3,24,$ тогда $0,6 < корень из 3 < 1,8 \Leftrightarrow - 1,8 < - корень из 3 < - 0,6 \Leftrightarrow 1,2 < 3 - корень из 3 < 2,4 \Leftrightarrow \frac{1}{5} < \frac{3 - корень из 3}{6} < \frac{2}{5}$ $0,6 < корень из 3 < 1,8 \Leftrightarrow - 1,8 < - корень из 3 < - 0,6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1,2 < 3 - корень из 3 < 2,4 \Leftrightarrow \frac{1}{5} < \frac{3 - корень из 3}{6} < \frac{2}{5}$ Теперь применим метод интервалов.