Решите неравенство: $\log по основанию 5 ( 1 - x^{2} - 4 x ) \geqslant

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Оценим значение левой части неравенства: $\log по основанию 5 ( 1 - x^{2} - 4 x ) = \log по основанию 5 ( 5 - x^{2} - 4 x - 4 ) = \log по основанию 5 ( 5 - ( x + 2 )^{2} ) \leqslant \log по основанию 5 5=1$ $\log по основанию 5 ( 1 - x^{2} - 4 x ) = \log по основанию 5 ( 5 - x^{2} - 4 x - 4 ) =$ $= \log по основанию 5 ( 5 - ( x + 2 )^{2} ) \leqslant \log по основанию 5 5=1$ Равенство достигается при $x= - 2$ Оценим значение правой части неравенства: $минус 1 \leqslant \sin \frac{Пи x}{4} \leqslant 1 \Leftrightarrow - \frac{Пи}{3} \leqslant \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} \leqslant \frac{Пи}{3} \Rightarrow \cos ( \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} ) \geqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \cos ( \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} ) \geqslant 1$ $минус 1 \leqslant \sin \frac{Пи x}{4} \leqslant 1 \Leftrightarrow - \frac{Пи}{3} \leqslant \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} \leqslant \frac{Пи}{3} \Rightarrow$ $\Rightarrow \cos ( \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} ) \geqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \cos ( \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} ) \geqslant 1$ Левая часть неравенства не больше 1, а правая не меньше 1, значит, исходное неравенство равносильно уравнению $\log по основанию 5 ( 1 - x^{2} - 4 x ) = 2 \cos ( \frac{Пи}{3} \sin \frac{Пи x}{4} ) ,$ единственным корнем которого может быть число −2.