Решите неравенство: $( \log по основанию (

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Чтобы избавится от громоздких записей, положим $a = |2x + 0,5|,$ $b = 0,25 - x,$ перейдем к основанию 3 и разложим на множители: $( \log по основанию a b - 1 ) \cdot \log по основанию 9 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 1 ) \cdot \frac{1}{2} \log по основанию 3 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} \cdot \log по основанию 3 b > 2 ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 2 ) > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \frac{\log по основанию 3 b - 2 \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} > 0 \Leftrightarrow \frac{( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a^{2} )}{\log по основанию 3 a} > 0$ $( \log по основанию a b - 1 ) \cdot \log по основанию 9 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 1 ) \cdot \frac{1}{2} \log по основанию 3 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} \cdot \log по основанию 3 b > 2 ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 2 ) > 0 \Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \frac{\log по основанию 3 b - 2 \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a^{2} )}{\log по основанию 3 a} > 0$ $( \log по основанию a b - 1 ) \cdot \log по основанию 9 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 1 ) \cdot \frac{1}{2} \log по основанию 3 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} \cdot \log по основанию 3 b > 2 ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 2 ) > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \frac{\log по основанию 3 b - 2 \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a^{2} )}{\log по основанию 3 a} > 0$ $( \log по основанию a b - 1 ) \cdot \log по основанию 9 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 1 ) \cdot \frac{1}{2} \log по основанию 3 b > \log по основанию 3 \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} \cdot \log по основанию 3 b > 2 ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \frac{\log по основанию 3 b}{\log по основанию 3 a} - 2 ) > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) \frac{\log по основанию 3 b - 2 \log по основанию 3 a}{\log по основанию 3 a} > 0 \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow \frac{( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a ) ( \log по основанию 3 b - \log по основанию 3 a^{2} )}{\log по основанию 3 a} > 0$ На области определения полученного неравенства его левая часть имеет тот же знак, что и выражение $\frac{( b - a ) ( b - a^{2} )}{a - 1} > 0,$ откуда получаем: $( \log по основанию (	2 x + 0,5	) ( 0,25 - x ) - 1 ) \cdot \log по основанию 9 ( 0,25 - x ) > \log по основанию 3 \frac{0,25 - x}{	2 x + 0,5	} \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow система выражений \frac{( 0,25 - x -	2 x + 0,5	) ( 0,25 - x - ( 2 x + 0,5 )^{2} )}{	2 x + 0,5	- 1} > 0 ,0,25 - x > 0 ,	2 x + 0,5	> 0 конец системы . \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow система выражений \frac{( ( 0,25 - x )^{2} - ( 2 x + 0,5 )^{2} ) ( - 4x^{2} - 3x )}{( 2 x + 0,5 )^{2} - 1} > 0,x < 0,25,x \neq - 0,25 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{( - 3x^{2} - 2,5x - 0,1875 ) ( - 4x^{2} - 3x )}{4x^{2} + 2x - 0,75} > 0,x < 0,25,x \neq - 0,25 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{( x + \frac{3}{4} ) ( x + \frac{1}{12} ) x ( x + \frac{3}{4} )}{( x + \frac{3}{4} ) ( x - \frac{1}{4} )} > 0,x < \frac{1}{4} ,x \neq - \frac{1}{4} конец системы . \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow система выражений $\frac{( x + \frac{1}{12} ) x}{( x + \frac{3}{4} )}$ < 0,x < $\frac{1}{4}$ ,x $\neq$ - $\frac{1}{4}$ конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x < - $\frac{3}{4}$ , - $\frac{1}{12}$ < x < 0, конец системы . x $\neq$ - $\frac{1}{4}$ конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x < - $\frac{3}{4}$ , - $\frac{1}{12}$ < x <