Математика·Логарифмы·10–11 класс

log₂5 = a. Выразите log₄₀50 через a

Условие

Известно, что $\log_2 5=a$ . Выразите $\log_{40}50$ через $a$ и найдите приближённое значение этого логарифма, считая $a\approx2{,}32$ .

log₄₀50 = (1 + 2a)/(3 + a) ≈ 1,06

Шаг 1. Переходим к удобному основанию
Дано значение логарифма по основанию 2, значит и всё выражение нужно перевести в основание 2. Формула перехода к новому основанию:
$\log_c b=\frac{\log_p b}{\log_p c},$
где $b>0$ , $c>0$ , $c\ne1$ , а $p$ — любое новое основание, $p>0$ , $p\ne1$ (буква $a$ у нас уже занята условием задачи).

Берём $p=2$ :
$\log_{40}50=\frac{\log_2 50}{\log_2 40}.$
Обратите внимание: получается частное, а не разность.
Шаг 2. Раскладываем 50 и 40 на «двойки» и «пятёрки»
Чтобы в ответе появились только число 1 (это $\log_2 2$ ) и величина $a=\log_2 5$ , разложим аргументы на множители — степени двойки и пятёрки:
$50=2\cdot25=2\cdot5^2,\qquad 40=8\cdot5=2^3\cdot5.$
Дальше останется применить свойства логарифма произведения и логарифма степени.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Вместо частного пишут разность: $\log_{40}50=\log_2 50-\log_2 40$ — это формула для логарифма дроби $\log_2\frac{50}{40}$ , а не переход к новому основанию.
Переворачивают дробь и получают $\frac{3+a}{1+2a}$ — в знаменателе должен стоять логарифм нового основания, то есть числа 40.
Выносят показатель как степень: $\log_2 5^2=a^2$ вместо $2a$ .
«Сокращают» дробь по слагаемым, например $\frac{1+2a}{3+a}$ до $\frac{1+2}{3}$ или до $\frac{2a}{a}=2$ .
Неверно раскладывают числа: 40 берут как $4\cdot10$ и застревают, не сводя всё к множителям 2 и 5.