Математика·Логарифмы·10–11 класс

Решите неравенство log₀,₅(x − 2) ≥ −3

Условие

Решите неравенство $\log_{0,5}(x-2)\ge-3$ и запишите ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (2; 10]

Шаг 1. ОДЗ и направление монотонности
ОДЗ: аргумент положителен, $x-2>0$ , то есть $x>2$ .

Основание $0{,}5$ лежит в промежутке $(0;1)$ , а логарифмическая функция с таким основанием убывает: чем больше аргумент, тем меньше логарифм. Поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Это ключевой момент задачи.
Шаг 2. Приводим правую часть к логарифму с тем же основанием
Число $-3$ записываем как логарифм по основанию $0{,}5$ :
$-3=\log_{0,5}0{,}5^{-3},\qquad 0{,}5^{-3}=\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8.$
Значит $-3=\log_{0,5}8$ , и неравенство принимает вид $\log_{0,5}(x-2)\ge\log_{0,5}8$ .

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Не меняют знак неравенства: при основании $0{,}5<1$ из $\log_{0,5}(x-2)\ge\log_{0,5}8$ следует $x-2\le8$ , а не $\ge$ .
Считают $0{,}5^{-3}$ как $-8$ или как $\frac18$ ; правильно $0{,}5^{-3}=2^3=8$ .
Забывают ОДЗ и записывают ответ $x\le10$ , куда попадают, например, $x=0$ и $x=2$ .
Ставят у десятки круглую скобку: при $x=10$ получается ровно $-3$ , а неравенство нестрогое, поэтому граница входит.