Математика·Логарифмы·10–11 класс

Решите уравнение log₃²x − log₃x⁴ + 3 = 0

Условие

Решите уравнение $(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+3=0$ (в учебниках его записывают короче: $\log_3^2 x-\log_3 x^4+3=0$ ); в ответе укажите все корни.

x = 3; x = 27

Шаг 1. Разбираемся с обозначением и ОДЗ
$\log_3^2 x$ — это квадрат логарифма, то есть $(\log_3 x)^2$ , а не $\log_3(x^2)$ . Это разные выражения, и путаница здесь — главная ошибка в таких уравнениях.

ОДЗ задаёт первое слагаемое: логарифм $\log_3 x$ существует при $x>0$ .
Шаг 2. Убираем степень из аргумента и делаем замену
При $x>0$ работает свойство $\log_a x^k=k\log_a x$ , поэтому $\log_3 x^4=4\log_3 x$ . Уравнение превращается в
$(\log_3 x)^2-4\log_3 x+3=0.$
Вводим замену $t=\log_3 x$ (здесь $t$ — любое действительное число). Получаем обычное квадратное уравнение $t^2-4t+3=0$ .

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Читают $\log_3^2 x$ как $\log_3(x^2)=2\log_3 x$ — уравнение становится линейным и даёт неверный единственный корень.
Выносят показатель из $\log_3 x^4$ , не оговорив $x>0$ : формально $x^4>0$ и при отрицательных $x$ , но исходное уравнение таких $x$ не допускает.
Заканчивают решение на корнях замены и пишут в ответ 1 и 3 вместо 3 и 27.
При возврате к $x$ умножают вместо возведения в степень: из $\log_3 x=3$ получают $x=3\cdot3=9$ , а не $x=3^3=27$ .