Найдите сумму квадратов и сумму кубов корней уравнения x² − 5x + 2 = 0

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Убедитесь, что корни существуют

   Прежде чем пользоваться теоремой Виета, нужно проверить, что действительные корни вообще есть:

   $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17 > 0$.

   Корни существуют и различны, но $\sqrt{17}$ — иррациональное число: корни равны $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$. Возводить такие выражения в квадрат и куб «в лоб» долго и легко ошибиться — поэтому и нужен приём с симметричными выражениями.

2. 2

   Шаг 2. Выпишите Виета и нужные тождества

   Уравнение приведённое, поэтому по теореме Виета:

   $x_1 + x_2 = 5$ (это $-b$, а не $b$: коэффициент $b = -5$);

   $x_1 \cdot x_2 = 2$.

   Обозначим для краткости $s = x_1 + x_2 = 5$ и $p = x_1 x_2 = 2$. Оба искомых выражения симметричны и выражаются через $s$ и $p$:

   $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = s^2 - 2p$;

   $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = s^3 - 3ps$.

   Первое тождество получается из $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, второе — из раскрытия куба суммы.