При каком значении a уравнение x² + (a + 1)x + 9 = 0 имеет ровно один корень

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Переведите условие на язык дискриминанта

   Коэффициент при $x^2$ равен 1 и от параметра не зависит, поэтому уравнение квадратное при любом $a$ — случай «вырождения в линейное» разбирать не нужно.

   Число корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта:

   • $D > 0$ — два различных корня;
   • $D = 0$ — ровно один корень (два совпавших);
   • $D < 0$ — действительных корней нет.

   Нам нужен ровно один корень, значит условие задачи равносильно уравнению $D = 0$ относительно $a$.

2. 2

   Шаг 2. Выразите дискриминант через параметр

   Здесь $b = a + 1$ — это весь коэффициент при $x$ целиком, поэтому в формулу он подставляется в скобках:

   $D = (a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (a + 1)^2 - 36$.

   Раскрывать квадрат суммы не обязательно: удобнее оставить $(a+1)^2$ и решать уравнение относительно этой скобки. Если всё же раскрыть, получится $D = a^2 + 2a + 1 - 36 = a^2 + 2a - 35$ — оба варианта равноправны.