Решите биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Сделайте замену переменной

   Уравнение содержит только чётные степени неизвестного, поэтому оно биквадратное. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$, и введём новую переменную:

   $t = x^2$, причём обязательно $t \ge 0$ — квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

   После замены получаем обычное квадратное уравнение:

   $t^2 - 13t + 36 = 0$.

   Ограничение $t \ge 0$ записывают сразу: оно понадобится, чтобы отсеять непригодные значения $t$.

2. 2

   Шаг 2. Найдите дискриминант вспомогательного уравнения

   Для $t^2 - 13t + 36 = 0$ имеем $a = 1$, $b = -13$, $c = 36$:

   $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.

   $D = 25 > 0$, значит два различных значения $t$, и $\sqrt{25} = 5$.

   По теореме Виета сумма этих значений равна 13, а произведение 36 — оба числа положительны, то есть ограничение $t \ge 0$ нарушено не будет и ни одно значение отбрасывать не придётся.