Сколько цифр 2 содержится в троичной записи числа 9^25 + 3^20 − 27

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Приведём все слагаемые к степеням тройки

   Считать само число (в нём больше двадцати десятичных знаков) не нужно — вся задача решается через степени основания 3.

   $9^{25} = (3^2)^{25} = 3^{2 \cdot 25} = 3^{50}$;

   $27 = 3^3$.

   Выражение принимает вид $3^{50} + 3^{20} - 3^3$.

   Теперь каждое слагаемое — «круглое» число в троичной системе: $3^k$ записывается как единица и $k$ нулей после неё.

2. 2

   Шаг 2. Разберём ключевой приём: разность степеней

   Двойки в записи появляются только из вычитания. Посмотрим на маленькие примеры в троичной системе:

   $3^2 - 3^0 = 9 - 1 = 8 = 22_3$ (две двойки);

   $3^3 - 3^1 = 27 - 3 = 24 = 220_3$ (две двойки и один ноль).

   Общее правило: при $m > n$

   $3^m - 3^n = 3^n (3^{m-n} - 1)$,

   а $3^{m-n} - 1$ в троичной системе — это ровно $m - n$ двоек подряд. Умножение на $3^n$ лишь приписывает справа $n$ нулей. Итого разность даёт $m-n$ двоек и $n$ нулей.