Найдите основание системы счисления, в которой число записано как 124, а в десятичной равно 67

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Запишем число в развёрнутом виде

   В позиционной системе с основанием $x$ вес разряда номер $k$ (нумерация справа налево с нуля) равен $x^k$. В записи 124 три цифры, значит старший разряд — второй:

   $124_x = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0 = x^2 + 2x + 4$.

   Важно: степень старшего разряда на единицу меньше количества цифр, поэтому здесь именно $x^2$, а не $x^3$.

2. 2

   Шаг 2. Наложим ограничения на основание

   Ещё до вычислений полезно сузить круг кандидатов. Основание позиционной системы — целое число, большее 1, и каждая цифра записи должна быть строго меньше основания.

   В записи 124 наибольшая цифра — 4, поэтому $x > 4$, то есть $x \geq 5$.

   Кроме того, из $x^2 + 2x + 4 = 67$ видно, что $x^2 < 67$, значит $x \leq 8$. Итого искать нужно среди $x \in \{5, 6, 7, 8\}$ — и ровно один из них подойдёт.