Информатика·Логика и таблицы истинности·8–11 класс

Упростите выражение (X ∧ Y) ∨ (¬X ∧ Y) ∨ (¬X ∧ ¬Y)

Условие

Упростите логическое выражение $F = (X \land Y) \lor (\lnot X \land Y) \lor (\lnot X \land \lnot Y)$ с помощью законов алгебры логики и проверьте результат по таблице истинности. Ответ запишите в виде максимально короткой формулы.

Ответ

$F = \lnot X \lor Y$ , то есть $F = X \to Y$ .

Решение по шагам

Шаг 1. Выносим общий множитель у первых двух слагаемых
В слагаемых $X \land Y$ и $\lnot X \land Y$ есть общий множитель $Y$ . По распределительному закону выносим его за скобку:
$(X \land Y) \lor (\lnot X \land Y) = Y \land (X \lor \lnot X)$
По закону исключённого третьего $X \lor \lnot X = 1$ , а конъюнкция с единицей ничего не меняет:
$Y \land 1 = Y$
Таким образом, два слагаемых из трёх «схлопнулись» в одну переменную $Y$ .
Шаг 2. Что осталось упростить
После первого шага выражение приняло вид:
$F = Y \lor (\lnot X \land \lnot Y)$
Здесь работает распределительный закон дизъюнкции относительно конъюнкции:
$A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$
Подсказка: в роли $A$ выступает $Y$ , и одна из получившихся скобок окажется тождественно истинной. Попробуйте раскрыть самостоятельно, прежде чем смотреть дальше.

Осталось ещё 2 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Доводим упрощение до конца
Шаг 4. Проверяем таблицей истинности

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Заменяют $\lnot X \land \lnot Y$ на $\lnot(X \land Y)$ : по закону де Моргана верно $\lnot X \land \lnot Y = \lnot(X \lor Y)$ .
Вынося $Y$ за скобку, пишут $Y \land (X \lor \lnot X) = Y \land 0$ вместо $Y \land 1$ и обнуляют всё выражение.
Останавливаются на промежуточном ответе $Y \lor (\lnot X \land \lnot Y)$ , хотя его можно сократить ещё на одну операцию.
Дают ответ $\lnot X \land Y$ : он ложен при $X = 1$ , $Y = 1$ , а исходное выражение там равно 1 — проверка таблицей это сразу ловит.

Другие задачи по теме «Логика и таблицы истинности»

Постройте таблицу истинности для выражения F = (A ∨ B) ∧ ¬C8–11 классВычислите значение выражения ¬A ∧ B ∨ C → B ∧ ¬C при A = 0, B = 1, C = 18–11 классПри каком наборе X, Y, Z, W выражение X ∨ ¬Y ∨ Z ∨ ¬W ложно8–11 классОпределите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая переменная8–11 классПостройте СДНФ функции по таблице истинности и упростите её8–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же