Присоединиться

Физика·Колебания и волны·9–11 класс

Колебательный контур: частота по формуле Томсона и длина принимаемой радиоволны

Условие

Колебательный контур радиоприёмника состоит из катушки индуктивностью 2 мкГн и конденсатора ёмкостью 500 пФ. Активным сопротивлением контура пренебречь, скорость электромагнитных волн принять равной 3·10⁸ м/с. Найдите период и частоту собственных колебаний контура и длину радиоволны, на приём которой настроен приёмник. Какой должна стать ёмкость конденсатора, чтобы приёмник принимал волну длиной 30 м?

Ответ

T ≈ 0,2 мкс, ν ≈ 5 МГц, λ ≈ 60 м; для волны 30 м ёмкость надо уменьшить в 4 раза, до 125 пФ

Решение по шагам

  1. Шаг 1. Переводим индуктивность и ёмкость в СИ

    L=2 мкГн=2⋅10−6 ГнL = 2\ \text{мкГн} = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{Гн}; C=500 пФ=500⋅10−12 Ф=5⋅10−10 ФC = 500\ \text{пФ} = 500 \cdot 10^{-12}\ \text{Ф} = 5 \cdot 10^{-10}\ \text{Ф}.

    Сразу посчитаем произведение, оно понадобится под корнем: LC=2⋅10−6⋅5⋅10−10=10−15 с2LC = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-10} = 10^{-15}\ \text{с}^2, значит LC=3,16⋅10−8\sqrt{LC} = 3{,}16 \cdot 10^{-8} с.

    Приставка «пико» означает 10−1210^{-12} — её чаще всего и путают. Кстати, то, что LCLC измеряется в с², — хороший знак: под корнем должно получаться время.

  2. Шаг 2. Формула Томсона и от чего период не зависит

    Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном контуре: T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}.

    Отсюда частота ν=1T=12πLC\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.

    Приёмник настроен в резонанс: он принимает волну, частота которой равна собственной частоте контура. Значит длина принимаемой волны λ=cν=cT\lambda = \frac{c}{\nu} = cT.

    Важно: период определяется только параметрами контура и совершенно не зависит от того, каким зарядом мы изначально зарядили конденсатор, — амплитуда на частоту не влияет.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

  • Шаг 3. Период и частота контура
  • Шаг 4. Длина радиоволны
  • Шаг 5. Какая нужна ёмкость для волны 30 м
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

  • Путают приставки: пФ = 10⁻¹², нФ = 10⁻⁹, мкФ = 10⁻⁶. Ошибка на три порядка в C даёт ошибку примерно в 32 раза в частоте.

  • Забывают множитель 2π в формуле Томсона и получают частоту почти в 6,3 раза больше.

  • Пишут λ = c·ν вместо λ = c/ν — размерность сразу покажет ошибку.

  • Считают, что для вдвое более короткой волны ёмкость надо уменьшить вдвое: зависимость от C корневая, поэтому нужно в 4 раза.

  • Складывают L и C или подставляют их не в те места — под корнем стоит именно произведение LC.

Другие задачи по теме «Колебания и волны»

Как найти длину математического маятника по числу колебаний9–11 классСкорость волны на воде по расстоянию между гребнями9–11 классПериод и частота колебаний груза 200 г на пружине 80 Н/м9–11 классУравнение колебаний x = 0,05 sin(10πt): амплитуда, период, максимальная скорость9–11 классЭнергия колебаний пружинного маятника и скорость груза при смещении 6 см9–11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же