В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны углы: $\angle

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Из прямоугольных треугольников AA₁C₁, ABC₁, ADC₁ соответственно находим: $\cos альфа = \frac{AA_1}{AC_1} ,$ $\cos \bets = \frac{AB}{AC_1} ,$ $\cos гамма = \frac{AD}{AC_1}$ Квадрат длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений, поэтому: $AC_1^{2} = AA_1^{2} + AB^{2} + AD^{2} \Leftrightarrow 1 = ( \frac{AA_1}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AB}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AD}{AC_1} )^{2} \Leftrightarrow \cos^{2} альфа + \cos^{2} бета + \cos^{2} гамма = 1$ $AC_1^{2} = AA_1^{2} + AB^{2} + AD^{2} \Leftrightarrow 1 = ( \frac{AA_1}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AB}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AD}{AC_1} )^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} альфа + \cos^{2} бета + \cos^{2} гамма = 1$ $AC_1^{2} = AA_1^{2} + AB^{2} + AD^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 1 = ( \frac{AA_1}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AB}{AC_1} )^{2} + ( \frac{AD}{AC_1} )^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos^{2} альфа + \cos^{2} бета + \cos^{2} гамма = 1$ б) Из доказанного в пункте а) находим: $\cos^{2} альфа + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} альфа + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow \cos^{2} альфа = \frac{1}{4} \underset 0^{\circ} < альфа < 90^{\circ} \mathop \Leftrightarrow \cos альфа = \frac{1}{2} \Leftrightarrow альфа = 60^{\circ} $\cos^{2} альфа + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} = 1 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow \cos^{2} альфа + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} альфа = \frac{1}{4} \underset 0^{\circ} < альфа < 90^{\circ} \mathop \Leftrightarrow $\mathop \Leftrightarrow \cos альфа = \frac{1}{2} \Leftrightarrow альфа = 60^{\circ}$ Из прямоугольного треугольника AC₁A₁ получаем $\angle AC_1A_1 = 30^{\circ}$ Отрезок A₁C₁ есть проекция диагонали AC₁ на плоскость A₁B₁C₁, следовательно, угол AC₁A₁ — искомый. Ответ: б) 30°.