В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали пересекаются в

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] a) Точка O принадлежит прямой B₁D, следовательно, точка O принадлежит плоскости B₁DM. В плоскости DB₁M проведем отрезок OT, параллельный отрезку B₁M, где точка T принадлежит плоскости ABC, тогда точка T принадлежит также плоскости α. Точка O принадлежит прямой AC₁. В плоскости AC₁N проведем отрезок OP, параллельный отрезку C₁N, где точка P принадлежит плоскости ABC, тогда точка P принадлежит также плоскости α. Таким образом, прямая TP — линия пересечения плоскости ABC с плоскостью α. Пусть K и G — точки пересечения прямой TP с ребрами AB и AD соответственно. Через точку K проведем прямую, параллельную прямой B₁M, пусть S — точка ее пересечения с ребром BB₁, через точку S проведем прямую, параллельную прямой C₁N, пусть E — точка ее пересечения с ребром B₁C₁, через точку E проведем прямую, параллельную прямой GK, пусть F — точка ее пересечения с ребром C₁D₁, через точку E проведем прямую, параллельную прямой KS, пусть L — точка ее пересечения с ребром DD₁. Тогда GKSEFL — сечение параллелепипеда плоскостью α. [рисунок] Пусть TW — средняя линия треугольника ADM, тогда $T W = \frac{1}{2} AM$ Точку пересечения прямой GK с прямой BC обозначим Q. Треугольники QPN и GPA равны по стороне $( A P = P N )$ и двум прилежащим углам. Следовательно, QN = GA, а так как BN = AW, то QB = GW и треугольники KBQ и TWG равны по катету и острому углу. Тогда $B K=W T= \frac{1}{2} A M= \frac{1}{2} B M,$ и K — середина MB, а поскольку прямые KS и B₁M параллельны, то точка S — середина BB₁ и BS : SB₁ = 1 :