Присоединиться

11 класс·высокий уровень

В правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна грань

Условие

В правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна грань которого лежит в плоскости основания АВСD пирамиды, а все вершины противоположной грани лежат на апофемах боковых граней пирамиды. Ребро куба в 2,5 раза меньше высоты пирамиды. а) Докажите, что вершины куба делят апофемы боковых граней пирамиды в отношении 3 : 2, считая от вершины пирамиды. б) Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь поверхности куба равна 108.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. [рисунок] а) Пусть PM и PN — апофемы двух противоположных боковых граней, а точки T и Q — лежащие на них соответственно вершины куба. Рассмотрим треугольник PMN (см. рис.). Пусть ребро куба равно x, тогда PH₁ = 2,5x — высота пирамиды. Треугольники PHQ и QQ₁N подобны по двум углам, откуда следуют соотношения: HQQ1N=PHQQ1=1,5xx=32,\frac{HQ}{Q_1N} = \frac{PH}{QQ_1} = \frac{1,5x}{x} = \frac{3}{2} , то есть PQQN=32\frac{PQ}{QN} = \frac{3}{2} б) Площадь полной поверхности куба равна 6x2=108,6x^{2} = 108, значит, x=18x = \sqrt{18} Из подобия треугольников PTQ и PMN по двум углам получаем: TQMN=PQPN⇔TQMN=35⇔MN=53TQ⇔MN=53⋅18⋅2,\frac{TQ}{MN} = \frac{PQ}{PN} \Leftrightarrow \frac{TQ}{MN} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow MN = \frac{5}{3} TQ \Leftrightarrow MN = \frac{5}{3} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} , откуда MN =

Осталось ещё 2 шага

  1. Тогда основание пирамиды — квадрат со стороной…

  2. По теореме Пифагора в треугольнике PNH₁: PN =…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
В правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна грань — решение с объяснением | Lom Ai