В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на серединах рёбер A₁C₁ и BC

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость AB₁M и прямая A₁N пересекаются в точке K. Рассмотрим сечение призмы плоскостью AA₁N: точка N₁ — середина стороны B₁C₁, поэтому отрезок NN₁ параллелен ребру AA₁, точка N₁ лежит в плоскости AA₁N.Обозначим P точку пересечения медиан AN₁ и B₁M. По свойству медиан $\frac{A_1P}{PN_1} = \frac{2}{1}$ Тогда треугольники A₁PK и NAK подобны с коэффициентом $k = \frac{2}{3}$ Следовательно, $\frac{A_1K}{KN} = \frac{2}{3}$ б) Удвоим отрезок В₁N, продлив его за точку N до пересечения с прямой СС₁ в точке С₂. Ясно, что C₁С₂ = 2C₁C. Пирамиды NAMB₁ и С₂AMB₁ имеют общее основание AMB₁, а их высоты, проведенные к этому основанию из точек N и С₂ соответственно, относятся как 1 :