В правильной шестиугольной призме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что прямые BE и CD параллельны C₁D₁, следовательно, сечение проходит через точку С₁. Отрезок CF пересекает BE, а следовательно, и плоскость сечения в точке O — центре основания. Таким образом, CO = FO. Проекции равных отрезков на одну плоскость равны, следовательно, C'O = F'O, где C' и F' — проекции точек C и F на сечение BED₁C₁. Треугольники CC'O и FF'O равны по гипотенузе и катету. Поэтому CC' = FF'. б) Заметим, что FE₁ параллельно BC₁, следовательно, прямая FE₁ параллельна сечению BED₁C₁. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от прямой FE₁ до сечения BED₁C₁. Следовательно, искомое расстояние, это, например, FF' = CC'. Найдем последнее как высоту пирамиды BECC₁, опущенную из вершины С. Объем пирамиды BECC₁: $V = \frac{1}{3} S_BCE \cdot CC_1 = \frac{1}{3} S_BEC_1 \cdot CC',$ откуда $CC' = \frac{S_BCE}{S_BEC_1} \cdot CC_1$ Из свойств правильного шестиугольника $S_BCE= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Очевидно, что сечение BED₁C₁ — равнобедренная трапеция в которой боковая сторона $BC_1 = \sqrt{2} ,$ а высота равна $C_1H = \sqrt{( \sqrt{2} )^{2} - ( \frac{1}{2} )^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ Таким образом, $S_BEC_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} ,$ $CC' = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$