В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M, N, K делят

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость MNK пересекает ребро CC₁ в точке L, O — точка пересечения LM и NK (середина диагоналей LM и NK параллелограмма KLN M), и пусть высота пирамиды равна h. Построим отрезок NR параллельно BD, где точка R лежит на ребре DD₁ и отрезок MS параллельно отрезку AC, где точка S лежит на ребре CC₁. Пусть точки O₁ и O₂ — середины NR и MS, соответственно. Заметим, что OO₁ и OO₂ — средние линии треугольников NRK и MSL, соответственно. Тогда: $DR= BN= \frac{h}{6} ,$ $CS=AM= \frac{h}{5} ,$ $DK= \frac{h}{4} ,$ $KR=DK - DR= \frac{h}{12} ,$ $OO_1= \frac{1}{2} KR= \frac{h}{24} ,$ $O_2O_1=AM - BN= \frac{h}{30} ,$ $OO_2=OO_1 - O_2O_1= \frac{h}{120} ,$ $SL=2OO_2= \frac{h}{60} ,$ $CL=CS + SL= \frac{13h}{60} ,$ $LC_1=CC_1 - CL= \frac{47h}{60} ,$ откуда $\frac{CL}{LC_1} = \frac{13}{47}$ б) Пусть P — точка пересечения прямых AB и MN, а точка Q — AD и KM. Тогда прямая PQ — общая прямая плоскостей ABC и MNK. Из точки M опустим перпендикуляр MH на прямую PQ. По теореме о трех перпендикулярах его проекция AH также перпендикулярна PQ, следовательно, угол MHA — линейный угол искомого угла.

   Из пункта а) следует: BN = 10, AM = 12, DK =