Присоединиться

11 класс·высокий уровень

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD

Условие

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна ребрам AB и CD.б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1 и KC = 5.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. [рисунок] а) Прямая DM перпендикулярна прямой AB, так как треугольник ABD равносторонний, а точка M — середина стороны AB. Аналогично прямая CM перпендикулярна AB. Следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости CMD, поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Тогда она перпендикулярна и прямой MN, лежащей в этой плоскости. Полностью аналогично можно показать, что прямая CD перпендикулярна плоскости ABN, в которой содержится прямая MN. Это и требовалось доказать. б) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой CD. Пусть она пересечет прямую BD в точке T. Через точку T проведем прямую, параллельную AB, пусть она пересечет AD в точке R. Аналогично определяется точка S. Докажем, что сечение SRTK — искомое. Прямая TK параллельна прямой CD по построению. Прямая MN перпендикулярна прямой CD, поэтому она перпендикулярна и прямой TK. Аналогично прямая MN перпендикулярна прямой SK. Следовательно, прямая MN перпендикулярна плоскости SKT, поскольку перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Через точку K проходит единственная плоскость перпендикулярная прямой MN. Четырехугольник SRTK — параллелограмм по построению. Прямая AB перпендикулярна прямой CD, поскольку ее проекция является биссектрисой в равностороннем треугольнике: углы BAC и BAD равны, а значит, проекция перпендикулярна прямой CD. Прямые TK и SK параллельны прямым CD и AB по построению, поэтому угол RTK прямой. Следовательно, четырехугольник SRTK — прямоугольник. Все ребра тетраэдра равны, по условию прямые BK и CK равны 1 и 5 соответственно, а тогда все ребра равны

Осталось ещё 1 шаг

  1. Итого SK = 5/6 AB=5 и TK = 1/6 CD=1 Таким…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD — решение с объяснением | Lom Ai