В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка M середина ребра C₁D₁, а

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Рис. 1а) Поскольку плоскость α параллельна прямой BD, она параллельна и прямой B₁D₁, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B₁D₁С₁ по некоторой прямой MN, параллельной прямой B₁D₁. Пусть точка $N \in B_1C_1$ и прямая MN пересекает прямую A₁C₁ в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC₁ в точке P. Тогда точка пересечения прямых A₁C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A₁C (см. рис. 1).Прямая MN параллельна B₁D₁ и точка M середина ребра C₁D₁, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B₁C₁D₁ и, следовательно, $LC_1= \frac{1}{4} A_1C_1$ Положим $AA_1=a,$ тогда $A_1K= \frac{3}{4} a$ Далее имеем (см. рис. 2):1) $\Delta PC_1L \sim \Delta KA_1L,$ откуда $\frac{PC_1}{KA_1} = \frac{LC_1}{LA_1} = \frac{1}{3}$ Отсюда находим: $PC_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} a= \frac{1}{4} a,$ и тогда $PC= \frac{5}{4} a$