Присоединиться

Математика·Стереометрическая задача·11 класс

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка M середина ребра C₁D₁, а

Условие

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 точка M середина ребра C₁D₁, а точка K делит ребро AA₁ в отношении \ [ AK:K{{A_1=1:3 Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A₁C в точке O.а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A₁C в отношении A1O:OC=3:5A_1O:OC=3:5 б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 ― куб. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | Получен обоснованный ответ в пункте б)ИЛИимеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | Имеется верное доказательство утверждения пункта а)ИЛИпри обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИобоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 | Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 | Максимальный балл | 3 |

Рисунок к задаче

Ответ

б) @@M25@@

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. [рисунок] Рис. 1а) Поскольку плоскость α параллельна прямой BD, она параллельна и прямой B₁D₁, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B₁D₁С₁ по некоторой прямой MN, параллельной прямой B₁D₁. Пусть точка N∈B1C1N \in B_1C_1 и прямая MN пересекает прямую A₁C₁ в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC₁ в точке P. Тогда точка пересечения прямых A₁C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A₁C (см. рис. 1).Прямая MN параллельна B₁D₁ и точка M середина ребра C₁D₁, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B₁C₁D₁ и, следовательно, LC1=14A1C1LC_1= \frac{1}{4} A_1C_1 Положим AA1=a,AA_1=a, тогда A1K=34aA_1K= \frac{3}{4} a Далее имеем (см. рис. 2):1) ΔPC1L∼ΔKA1L,\Delta PC_1L \sim \Delta KA_1L, откуда PC1KA1=LC1LA1=13\frac{PC_1}{KA_1} = \frac{LC_1}{LA_1} = \frac{1}{3} Отсюда находим: PC1=13⋅34a=14a,PC_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} a= \frac{1}{4} a, и тогда PC=54aPC= \frac{5}{4} a

Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:

  • Шаг 2
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классКритерии оценивания выполнения задания11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же