В основании пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами лежит

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка M — точка пересечения медиан треугольника SBC, точка P — середина отрезка BC, точка K — точка пересечения отрезков AC и PD. Заметим, что треугольники AKD и CKP подобны по двум углам, тогда $\frac{PK}{KD} = \frac{PC}{AD} = \frac{1}{2}$ По свойству точки пересечения медиан $\frac{PM}{MS} = \frac{1}{2} ,$ а тогда $\frac{PK}{KD} = \frac{PM}{MS} ,$ откуда следует параллельность отрезков MK и DS. Плоскость альфа должна пересекать плоскость SDP по прямой, параллельной отрезку SD, ведь плоскость альфа параллельна отрезку SD по условию. Значит, плоскость альфа проходит через точку K, а тогда и через точку C, потому что точка C лежит на прямой AK.б) Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Вершина пирамиды проектируется в точку, равноудаленную от всех вершин основания, то есть в точку пересечения диагоналей основания ABCD — точку O. Введем систему координат с началом в точке B, ось Ox направим как луч BC, ось Oy — как луч BA, ось Oz направим вверх. Запишем теперь координаты точек: $A ( 0; \sqrt{3} x_0; 0 ) ,$ $C ( x_0; 0; 0 ) ,$ B ( 0; 0; 0 ) , $S ( \frac{x_0}{2} ; \frac{\sqrt{3} x_0}{2} ; \sqrt{3} x_0 ) ,$ $M ( \frac{x_0}{2} ; \frac{\sqrt{3} x_0}{6} ; \frac{\sqrt{3} x_0}{3} )$ Здесь мы использовали, что $SO^{2} = SB^{2} - BO^{2} = SB^{2} - ( \frac{AC}{2} ) = 4x^{2}_0 - ( \frac{3x^{2}_0 + x^{2}_0}{4} = 3x^{2}_0 )$ и то, что точкой M отрезок SP делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Составим уравнение плоскости SBC, пусть оно таково: $Ax + By + Cz + D = 0$ Подставив координаты соответствующих точек, получим: $D = 0,$ $Ax_0 = 0,$ $\frac{Ax_0}{2} + \frac{B \cdot \sqrt{3} x_0}{2} + C \cdot \sqrt{3} x_0 = 0,$ откуда B = -2C, D = 0, A =