В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M — середины ребер AB, B₁C₁ и DD₁.а)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Плоскость KLM пересекает рёбра AB, B₁C₁ и DD₁, поэтому она должна также пересекать рёбра C₁D₁, AD и BB₁. Назовём точки пересечения Q, R, P соответственно. Таким образом, в сечении получаем шестиугольник KPLQMR. Пусть плоскость сечения пересекает ребро AA₁ в точке S, тогда через неё проходят прямые KP и MR. Грани куба параллельны, поэтому прямые KP и MQ также параллельны, следовательно, поскольку AK = KB = MD₁, треугольники KSA, KPB и MQD₁ равны. Далее, с одной стороны, углы MQD, SKD и PKB равны как углы между парами параллельных прямых, с другой стороны, углы MQD и KPB равны как углы, лежащие напротив равных сторон. Следовательно, углы PKB и KPB равны, и указанные треугольники равнобедренные: BK = BP, D₁M = D₁Q, P — середина BB₁, Q — середина C₁D₁, R — середина AD. Таким образом, KP = PL = LQ = QM = MR = RK. Заметим теперь, что KL = PQ = LM = QR = MK = RP, поэтому равнобедренные треугольники KPL, PLQ, LQM, QMR, MRK, RKP и углы шестиугольника равны. Следовательно, KPLQMR — правильный шестиугольник. б) Рассмотрим пирамиду SAKR и запишем её объём двумя способами: $V= \frac{1}{3} S_AKR \cdot AS= \frac{1}{3} h_A \cdot S_SRK,$ где h_A — искомое расстояние, AS = AK = AR = 1, $S_AKR= \frac{1}{2} ,$ $V= \frac{1}{6}$ Далее, $SK=KR=RS= \sqrt{2} ,$ $S_SKR= \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ $h_A= \frac{3V}{S_SKR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$