11 класс·высокий уровень

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁ — центр квадрата ABCD, точка O₂ — центр

Условие

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁ — центр квадрата ABCD, точка O₂ — центр квадрата CC₁D₁D.а) Докажите, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ скрещиваются.б) Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂, если ребро куба равно 1.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

Как рассуждать
Решение. [рисунок] а) Заметим, что прямая A₁O₁ лежит в плоскости ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плоскости, то есть прямая B₁O₂ не лежит в плоскости ACC₁A₁ и не параллельна ей (B₁ и O₂ лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости).

Осталось ещё 17 шагов

Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает…
Покажем, что точка их пересечения не лежит на…
Действительно, прямая B₁O₂ лежит в плоскости…
Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает…
Прямая CO₃ не имеет общих точек с прямой…
Таким образом, прямая B₁O₂ пересекает…
Требуемое доказано.б) Введём систему…
В этой системе координат: A₁(0; 0; 0), O_1 (…
Тогда длина MN равна расстоянию между ними…
Запишем условия перпендикулярности в виде MN…
Примем ребро куба за 1 (или за а), введем…
Приведем решение пункта б) Андрея…
Рассмотрим плоскость СB₁D₁…
Эта плоскость проходит через прямую B₁O₂ и…
Следовательно, искомое расстояние между…
Заметим, что O₁M перпендикулярна B₁D₁…
Таким образом, O₁M перпендикулярна двум…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же