В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ а) Докажите, что плоскости $AB_1D_1$ и $A_1BC$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) В квадрате $ABB_1A_1$ диагонали перпендикулярны, поэтому $AB_1\perp A_1B$ Кроме того, $AB_1\perp BC,$ так как BC перпендикулярна плоскости $ABB_1$ Отсюда получаем, что прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BC$ А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость $AB_1D_1$ содержит прямую, перпендикулярную плоскости $A_1BC$ ).б) Пусть точка M — середина отрезка $AD_1$ Примем длины ребер куба за a Из прямоугольного треугольника $ABB_1$ по теореме Пифагора найдём $AB_1:$ $AB_1= \sqrt{AB^{2} + BB_1^{2}} =a \sqrt{2}$ Аналогично, $B_1D_1=CD_1=AD_1=AC=B_1C=a \sqrt{2}$ Опустим перпендикуляры $B_1H$ и CK на сторону $AD_1$ треугольники $AB_1D_1$ и $ACD_1$ равносторонние, поэтому перпендикуляры $B_1H$ и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают.