Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4,$ точка K

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка M₁ делит ребро AD в отношении $AM_1 : M_1D = 1 : 4,$ тогда BC = M₁D = MD₁ = B₁C₁ = 4 и многогранник M₁BCDMB₁C₁D₁ — параллелепипед. Пусть плоскость MCK пересекает ребро BB₁ в некоторой точке P. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KM и CP, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KM и CP равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, и MKCP — параллелограмм. Следовательно, прямоугольные треугольники CPB и MKD₁ равны по катету и гипотенузе: BC = MD₁ и CP = MK. Тогда $BP=KD_1= \frac{DD_1}{2} = \frac{BB_1}{2} ,$ а значит, точка P — середина ребра BB₁. Отрезки BP и KD равны и параллельны, тогда BPKD — параллелограмм, и, значит, прямая PK параллельна прямой BD. Прямая PK лежит в плоскости MKC, а прямая BD не лежит в этой плоскости, тогда по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость MKC параллельна прямой BD — что и требовалось доказать. б) Заметим, что MKCP — параллелограмм с прямым углом, следовательно, MKCP — прямоугольник. Угол между плоскостью MKC и плоскостью ABCD будем искать с помощью площади проекции. Проекция прямоугольника MKCP на плоскость $A_1B_1C_1D_1$ это параллелограмм $B_1MD_1C_1$ Пусть D₁K = x, KD = x. По теореме Пифагора: $MK^{2} = MD_1^{2} + D_1K^{2} \Leftrightarrow MK^{2} = 16 + x^{2} ,$ тогда $MC^{2} = 16 + 2x^{2} + CD^{2} = PK^{2} = BD^{2}$ Если $\angle BAD = 60^{\circ} ,$ то треугольник B₁A₁M — равносторонний, A₁B₁ = C₁D₁ = CD = A₁M =